Question

如图，四边形 ABCD 是边长为 2，一个锐角等于 60°的菱形纸片，将一个∠EDF=60°的三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点 D 重合，按顺时针方向旋转这个三角形纸片，使它的两边分别交 CB，BA（或它们的延长线）于点 E， F；

①当 CE=AF 时，如图①，DE 与 DF 的数量关系是      ；

②继续旋转三角形纸片，当 CE≠AF 时，如图②，（1）的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；

③再次旋转三角形纸片，当点 E，F 分别在 CB，BA 的延长线上时，如图③， 请直接写出 DE 与 DF 的数量关系．

Answer

(1) DE=DF；(2)见解析;(3)见解析.

【解析】

（1）证明△DAF≌△DCE（SAS）即可判断；(2)由菱形的性质得到△ABD 是等边三角形，再证明△ADF≌△BDE 即可；(3)由菱形的性质得到△ABD 是等边三角形，再证明△ADF≌△BDE 即可；

（1）DE=DF；

理由：∵四边形 ABCD 是菱形，

∴DA=DC，∠A=∠C，

∵AF=CE，

∴△DAF≌△DCE（SAS），

∴DE=DF．

(2)成立．

理由：连接 BD．

∵四边形 ABCD 是菱形，

∴AD=AB．

又∵∠DAB=60°，

∴△ABD 是等边三角形，

∴AD=BD，∠ADB=60°，

∴∠DBE=∠DAF=60°．

∵∠EDF=60°，

∴∠ADB=∠EDF=60°，

∴∠ADF=∠BDE，

∴△ADF≌△BDE（ASA），

∴DE=DF．

(3)结论：DF=DE．

理由：如图 3，连接 BD．

∵四边形 ABCD 是菱形，

∴AD=AB．

又∵∠A=60°，

∴△ABD 是等边三角形，

∴AD=BD，∠ADB=60°，同法可证∠DBC=60°，

∴∠DBE=∠DAF=120°

∵∠EDF=ADB=60°，

∴∠ADF=∠BDE，

∴△ADF≌△BDE（ASA），

∴DF=DE.