Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B坐标分别为（4，2）、（0，2），线段CD在于x轴上，CD＝，点C从原点出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度向右平移，点D随着点C同时同速同方向运动，过点D作x轴的垂线交线段AB于点E、交OA于点G，连结CE交OA于点F．设运动时间为t，当E点到达A点时，停止所有运动．

（1）求线段CE的长；

（2）记S为RtΔCDE与ΔABO的重叠部分面积，试写出S关于t的函数关系式及t的取值范围；

（3）连结DF，

①当t取何值时，有?

②直接写出ΔCDF的外接圆与OA相切时t的值.

Answer

（1）线段CE的长为；

（2）S=（﹣t）2，t的取值范围为：0≤t≤；

（3）①当t=时，DF=CD；②ΔCDF的外接圆与OA相切时t=．

【解析】

试题（1）直接根据勾股定理求出CE的长即可；

（2）作FH⊥CD于H．，由AB∥OD，DE⊥OD，OB⊥OD可知四边形ODEB是矩形，故可用t表示出AE及BE的长，由相似三角形的判定定理可得出△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG，由相似三角形的性质可用t表示出CF及EG的长，FH∥ED可求出HD的长，由三角形的面积公式可求出S与t的关系式；

（3）①由（2）知CF=t，当DF=CD时，作DK⊥CF于K，则CK=CF=t，CK=CDcos∠DCE，由此可得出t的值；

②先根据勾股定理求出OA的长，由（2）知HD=（5﹣t），由相似三角形的判定定理得出Rt△AOB∽Rt△OFH，可用t表示出OF的长，因为当△CDF的外接圆与OA相切时，则OF为切线，OD为割线，由切割线定理可知OF2=OC•OD，故可得出结论．

试题解析：（1）∵在Rt△CDE中，CD=，DE=2，

∴CE=；

（2）如图1，作FH⊥CD于H．

∵AB∥OD，DE⊥OD，OB⊥OD，

∴四边形ODEB是矩形，

∴BE=OD，

∵OC=t，

∴BE=OD=OC+CD=t+，

∴AE=AB﹣BE=4﹣（t+）=﹣t，

∵AB∥OD，

∴△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG，

∴，，

又∵CF+EF=5，DG+EG=4，

∴，，

∴CF=t，EG=，

∴EF=CE﹣CF=5﹣t，

∵FH∥ED，

∴，即HD=•CD=（﹣t），

∴S=EG•HD=××（﹣t）=（﹣t）2，

t的取值范围为：0≤t≤；

（3）①由（2）知CF=t，

如图2，当DF=CD时，如图作DK⊥CF于K，

则CK=CF=t，

∵CK=CDcos∠DCE，

∴t=3×，

解得：t=；

∴当t=时，DF=CD；

②∵点A，B坐标分别为（8，4），（0，4），

∴AB=8，OB=4，

∴OA==4，

∵由（2）知HD=（5﹣t），

∴OH=t+3﹣（5﹣t）=，

∵∠A+∠AOB=∠AOD+∠AOB=90°，

∴∠A=∠AOD，

∴Rt△AOB∽Rt△OFH，

∴，

解得OF=，

∵当△CDF的外接圆与OA相切时，则OF为切线，OD为割线，

∴OF2=OC•OD，即（）2=t（t+3），得t=．