Question

永嘉某商店试销一种新型节能灯，每盏节能灯进价为18元，试销过程中发现，每周销量y（盏）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣进价）

（1）写出每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间函数解析式；

（2）当销售单价定为多少元时，这种节能灯每周能够获得最大利润？最大利润是多少元？

（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于30元．若商店想要这种节能灯每周获得350元的利润，则销售单价应定为多少元？

Answer

（1）w=﹣2x2+136x﹣1800（x＞18）；

（2）当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；

（3）销售单价应定为25元．

【解析】

试题（1）根据每轴的利润w=（x﹣18）y，再把y=﹣2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式，

（2）根据利润的表达式，利用配方法可得出利润的最大值；

（3）先得出销售利润的表达式，然后建立方程，解出即可得出销售单价；

【解析】
（1）w=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）

=﹣2x2+136x﹣1800，

∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800（x＞18）；

（2）∵w=﹣2x2+136x﹣1800=﹣2（x﹣34）2+512，

∴当x=34时，w取得最大，最大利润为512万元．

答：当销售单价为34元时，厂商每周能获得最大利润，最大利润是512万元．

（3）周销售利润=周销量×（单件售价﹣单件制造成本）=（﹣2x+100）（x﹣18）=﹣2x2+136x﹣1800，

由题意得，﹣2x2+136x﹣1800=350，

解得：x1=25，x2=43，

∵销售单价不得高于30元，

∴x取25，

答：销售单价定为25元时厂商每周能获得350万元的利润；