Question

如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝12，BC＝5，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和等于（　　）

A. 7.5    B. 10    C. 12.5    D. 13

Answer

C

【解析】

如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1-OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时， P2Q2最大值=6.5+2.5=9，由此解决问题．

【解析】
如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1-OQ1，

∵AB=13，AC=12，BC=5，

∴AB2=AC2+BC2，

∴∠C=90°，

∵∠OP1B=90°，

∴OP1∥AC，

∵AO=OB，

∴P1C=P1B，

∴OP1=AC=6，

∴P1Q1最小值为OP1-OQ1=3.5，

如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，

P2Q2最大值=6.5+2.5=9，

∴PQ长的最大值与最小值的和是12.5．

故选：C．