Question

如图，正方形ABCD中，AD＝4，E在AB上且AB＝4BE，连接CE，作BF⊥CE于F，正方形对角线交于O点，连接OF，将△COF沿CE翻折得△CGF，连接BG，则BG的长为_____．

Answer

【解析】

Rt△BCE中，BF⊥CE，∠CBE=90°，可得BF==，再判定△COF∽△CEA，可得∠CFO=∠CAB=45°，进而得到∠CFG=∠CFO=45°，∠BFH=90°-45°=45°，可得△BFH是等腰直角三角形，再根据△COF∽△CEA，可得＝，即＝，进而得出OF==GF，HG=FG-FH=，最后在Rt△BHG中，由勾股定理可得BG==．

【解析】
如图，连接BG，过B作BH⊥GF于H，

由题可得，BE=1，BC=4，AE=3，OC=2，

∴Rt△BCE中，CE=，

∵BF⊥CE，∠CBE=90°，

∴BF==，

∵Rt△BCE中，BF⊥CE；Rt△ABC中，BO⊥AC，

∴BC2=CF×CE，BC2=CO×CA，

∴CF×CE=CO×CA，即＝，

又∵∠OCF=∠ECA，

∴△COF∽△CEA，

∴∠CFO=∠CAB=45°，

由折叠可得，∠CFG=∠CFO=45°，

∴∠BFH=90°-45°=45°，

∴△BFH是等腰直角三角形，

∴FH=BH=BF=，

∵△COF∽△CEA，

∴＝，即＝，

∴OF==GF，

∴HG=FG-FH=，

∴Rt△BHG中，BG==．

故答案为：．