Question

如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；

（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=﹣x2+2x+3；（2）P ( ,)；（3）当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．

【解析】

（1）先求得点B和点C的坐标，然后将点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程，从而可求得b、c的值；（2）作点O关于BC的对称点O′，则O′（3，3），则OP+AP的最小值为AO′的长，然后求得AO′的解析式，最后可求得点P的坐标；（3）先求得点D的坐标，然后求得CD、BC、BD的长，依据勾股定理的逆定理证明△BCD为直角三角形，然后分为△AQC∽△DCB和△ACQ∽△DCB两种情况求解即可．

（1）把x=0代入y=﹣x+3，得：y=3，

∴C（0，3）．

把y=0代入y=﹣x+3得：x=3，

∴B（3，0），A（﹣1，0）.

将C（0，3）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c得： ，解得b=2，c=3．

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．

（2）如图所示：作点O关于BC的对称点O′，则O′（3，3）．

∵O′与O关于BC对称，

∴PO=PO′．

∴OP+AP=O′P+AP≤AO′．

∴OP+AP的最小值=O′A==5．

O′A的方程为y=

P点满足解得：

所以P ( ,)

（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4）．

又∵C（0，3，B（3，0），

∴CD=，BC=3，DB=2．

∴CD2+CB2=BD2，

∴∠DCB=90°．

∵A（﹣1，0），C（0，3），

∴OA=1，CO=3．

∴．

又∵∠AOC=DCB=90°，

∴△AOC∽△DCB．

∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．

如图所示：连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．

∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，

∴△ACQ∽△AOC．

又∵△AOC∽△DCB，

∴△ACQ∽△DCB．

∴，即，解得：AQ=10．

∴Q（9，0）．

综上所述，当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．