Question

已知：如图，∠B=90°，AB∥DF，AB=3cm，BD=8cm，点C是线段BD上一动点，点E是直线DF上一动点，且始终保持AC⊥CE．

（1）试说明：∠ACB =∠CED 

（2）若AC=CE ，试求DE的长     

（3）在线段BD的延长线上，是否存在点C，使得AC=CE，若存在，请求出DE的长及△AEC的面积；若不存在，请说明理由。

Answer

（1）说明见解析； （2）5cm；（3）65cm2.

【解析】

试题（1）根据平行线的性质和三角形的内角和定理求出即可；

（2）根据全等得出对应边相等，即可得出答案；

（3）求出两三角形全等，得出对应边相等，再根据勾股定理和三角形面积公式求出即可．

试题解析：（1）∵∠B=90°，AB∥DF，

∴∠D=∠B=90°，

∵AC⊥CE，

∴∠ACE=90°，

∴∠ECD+∠CED=90°，∠ACB+∠ECD=90°，

∴∠ACB=∠CED；

（2）∵在△ABC和△CDE中

∴△ABC≌△CDE（AAS），

∴AB=CD=3cm，

∴DE=BC=8cm-3cm=5cm；

（3）∵∠B=90°AB∥DF，

∴∠CDE=∠B=90°，

∵AC⊥CE，

∴∠ACE=90°，

∴∠ECD+∠ACB=90°，∠ACB+∠BAC=90°，

∴∠ECD=∠BAC；

当CD=AB=3cm时，AC=CE，

∵在△ABC和△CDE中

∴△ABC≌△CDE（ASA），

∴AC=CE，DE=BD=8cm，

∵AB=3cm，BC=BD+CD=8cm+3cm=11cm，

∴在Rt△ABC中，由勾股定理得；AC=

∵∠ACE=90°，

∴△AEC的面积是×AC×CE=××=65cm2．