Question

如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交y轴于A（0，1），交x轴于点B．过点E（1，0）作x轴的垂线EF交AB于点D，P是直线EF上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）．

（1）直线AB的表达式为__________________；

（2）①求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；

②当S_△ABP=2时，求点P的坐标；

③在②的条件下，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，请直接写出点C的坐标．

Answer

(1)y=﹣x+1；(2)①S△ABP=；②P（1，2）；③（3，4）或（5，2）或（3，2）．

【解析】

（1）把A的坐标代入直线AB的解析式即可求得b的值，由此即可求得直线AB的解析式；（2）①过点A作AM⊥PD，垂足为M，求得AM的长，再求得△BPD和△PAB的面积，二者的和即为△ABP的面积；②当S△ABP=2时，代入①中所得的代数式，求得n值，即可求得点P的坐标；③分P是直角顶点且BP=PC、B是直角顶点且BP=BC 、C是直角顶点且CP=CB三种情况求点C的坐标即可．

（1）∵y=-x+b经过A（0，1），

∴b=1，

∴直线AB的解析式是y=-x+1；

故答案为：y=-x+1；

（2）①过点A作AM⊥PD，垂足为M，则有AM=1，

∵x=1时，y=-x+1=，P在点D的上方，

∴PD=n-，S△APD=PD•AM=×1×（n− ）=n− ，

由点B（3，0），可知点B到直线x=1的距离为2，即△BDP的边PD上的高长为2，

∴S△BPD=PD×2=n-，

∴S△PAB=S△APD+S△BPD=n-+n-=n-1；

②当S△ABP=2时，n-1=2，

解得n=2，

∴点P（1，2）．

③∵E（1，0），

∴PE=BE=2，

∴∠EPB=∠EBP=45°．

第1种情况，如图1，∠CPB=90°，BP=PC，

过点C作CN⊥直线x=1于点N．

∵∠CPB=90°，∠EPB=45°，

∴∠NPC=∠EPB=45°，

在△CNP与△BEP中， ，

∴△CNP≌△BEP，

∴PN=NC=EB=PE=2，

∴NE=NP+PE=2+2=4，

∴C（3，4）．

第2种情况，如图2，∠PBC=90°，BP=BC，

过点C作CF⊥x轴于点F．

∵∠PBC=90°，∠EBP=45°，

∴∠CBF=∠PBE=45°，

在△CBP与△PBE中， ，

∴△CBF≌△PBE．

∴BF=CF=PE=EB=2，

∴OF=OB+BF=3+2=5，

∴C（5，2）．

第3种情况，如图3，∠PCB=90°，CP=CB，

∴∠CPB=∠CBP=45°，

∵∠EPB=∠EBP=45°，

∴∠PCB=∠CBE=∠EPC=90°，

∴四边形EBCP为矩形，

∵CP=CB，

∴四边形EBCP为正方形，

∴PC=CB=PE=EB=2，

∴C（3，2）．

∴以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，点C的坐标是（3，4）或（5，2）或（3，2）．