Question

如图，在△ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α=，有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当CD=9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或；④0＜BE≤，其中正确的结论是 ________（填入正确结论的序号）.

Answer

②③．

【解析】

试题解析：①∵∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAD，

∴△ADE∽△ABD；

故①错误；

②作AG⊥BC于G，

∵∠ADE=∠B=α，tan∠α=，

∴，

∴，

∴cosα=，

∵AB=AC=15，

∴BG=12，

∴BC=24，

∵CD=9，

∴BD=15，

∴AC=BD．

∵∠ADE+∠BDE=∠C+∠DAC，∠ADE=∠C=α，

∴∠EDB=∠DAC，

在△ACD与△DBE中，

，

∴△ACD≌△BDE（ASA）．

故②正确；

③当∠BED=90°时，由①可知：△ADE∽△ABD，

∴∠ADB=∠AED，

∵∠BED=90°，

∴∠ADB=90°，

即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=CD，

∴∠ADE=∠B=α且tan∠α=，AB=15，

∴

∴BD=12．

当∠BDE=90°时，易证△BDE∽△CAD，

∵∠BDE=90°，

∴∠CAD=90°，

∵∠C=α且cosα=，AC=15，

∴cosC=，

∴CD=．

∵BC=24，

∴BD=24-=

即当△DCE为直角三角形时，BD=12或．

故③正确；

④易证得△BDE∽△CAD，由②可知BC=24，

设CD=y，BE=x，

∴，

∴，

整理得：y2-24y+144=144-15x，

即（y-12）2=144-15x，

∴0＜x≤，

∴0＜BE≤．

故④错误．

故正确的结论为：②③．