Question

如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，AD=AC，EC交AD于点F．

(1)求证：△ABC∽△FCD；

(2)求证：FC=3EF．

 

Answer

(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

（1）由AD=AC，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，利用两对对应角相等的三角形相似即可得证；
（2）根据相似三角形的性质得到，由D是BC边的中点，得到BC=2CD，于是得到AD=AC=2FD，由于∠ACD=∠ADC，∠B=∠FCD，推出∠EAD=∠ACE，得到△EAF∽△ECA，根据相似三角形的性质得到，即可得到结论．

(1)∵AD=AC，

∴∠ADC=∠ACB，

∵∠B=∠ECB，

∴△ABC∽△FCD；

(2)∵△ABC∽△FCD，

∴ ，

∵D是BC边的中点，

∴BC=2CD，

∴AD=AC=2FD，

∵∠ACD=∠ADC，∠B=∠FCD，

∴∠EAD=∠ACE，

∴△EAF∽△ECA，

∴，

∴EC=2EA=4EF，

∴FC=3EF．