Question

.现有 a 根长度相同的火柴棒，按如图 1 摆放时可摆成 m 个正方形，按如图 2摆放时可摆成 2n 个正方形．

（1）试分别用含 m，n 的代数式表示 a；

（2）若这 a 根火柴棒按如图 3 摆放时还可摆成 3p 个正方形．

①试问 p 的值能取 8 吗？请说明理由．

②试求 a 的最小值．

Answer

（1）a=3m+1，a=5n+2；（2）①a=3m+1，a=5n+2；②52.

【解析】

（1）观察图1发现，摆成1个正方形需要4根火柴棒，以后每多摆放1个正方形增加3根火柴棒，由此得出摆成m个正方形需要（3m+1）根火柴棒，即a=3m+1；同理得出用含n的代数式表示a的式子；
（2）①首先观察图3，得出用含p的代数式表示a的式子，把p=8代入求出a的值，再根据火柴棒的总数相同求出m、n即可判断；
②根据火柴棒的总数相同得出a=3m+1=5n+2=7p+3，求出最小正整数解，从而得到a的最小值．

【解析】
（1）图 1 中火柴棒的总数是（3m+1）根，图 2 中火柴棒的总数是（5n+2）根，所以 a=3m+1，a=5n+2；

（2）∵图 3 中有 3p 个正方形，

∴火柴棒的总数是（7p+3）根．

①当 p=8 时，a=7×8+3=59，

如果3m+1=59，解得 m= ，

如果5n+2=59，解得 n= ，

m、n 的值都不是整数，不合题意， 所以 p 的值不能取 8；

②由题意得 a=3m+1=5n+2=7p+3，所以 p== ．

∵m，n，p 均是正整数，

∴m=17，n=10，p=7 时 a 的值最小，a=3×17+1=5×10+2=7×7+3=52．