Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，若∠A=30°，CD=3．

（1）求∠BDC的度数．

（2）求AC的长度．

【答案】（1）60°；（2）9.

【解析】试题（1）由AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，根据线段垂直平分线的性质，易得AD=BD，即可求得∠ABD的度数，又由三角形外角的性质，即可求得答案；

（2）易得△BCD是含30°角的直角三角形的性质，继而求得BD的长，则可求得答案．

【解析】
（1）∵AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠A=30°，

∴∠BDC=∠ABD+∠A=60°；

（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠BDC=60°，

∴∠CBD=30°，

∴BD=ACD=2×3=6，

∴AD=BD=6，

∴AC=AD+CD=9．

考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．

【题型】解答题
【结束】
22

已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F，连接AF．求证：AF平分∠BAC．

Answer

证明见解析.

【解析】

试题先根据AB=AC，可得∠ABC=∠ACB，再由垂直，可得90°的角，在△BCE和△BCD中，利用内角和为180°，可分别求∠BCE和∠DBC，利用等量减等量差相等，可得FB=FC，再易证△ABF≌△ACF，从而证出AF平分∠BAC．

试题解析：证明：∵AB=AC(已知)，

∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).

∵BD、CE分别是高，

∴BD⊥AC,CE⊥AB(高的定义).

∴∠CEB=∠BDC=90°.

∴∠ECB=90°−∠ABC,∠DBC=90°−∠ACB.

∴∠ECB=∠DBC(等量代换).

∴FB=FC(等角对等边)，

在△ABF和△ACF中，

，

∴△ABF≌△ACF(SSS)，

∴∠BAF=∠CAF(全等三角形对应角相等)，

∴AF平分∠BAC.