Question

已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F，连接AF．求证：AF平分∠BAC．

【答案】证明见解析.

【解析】

试题先根据AB=AC，可得∠ABC=∠ACB，再由垂直，可得90°的角，在△BCE和△BCD中，利用内角和为180°，可分别求∠BCE和∠DBC，利用等量减等量差相等，可得FB=FC，再易证△ABF≌△ACF，从而证出AF平分∠BAC．

试题解析：证明：∵AB=AC(已知)，

∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).

∵BD、CE分别是高，

∴BD⊥AC,CE⊥AB(高的定义).

∴∠CEB=∠BDC=90°.

∴∠ECB=90°−∠ABC,∠DBC=90°−∠ACB.

∴∠ECB=∠DBC(等量代换).

∴FB=FC(等角对等边)，

在△ABF和△ACF中，

，

∴△ABF≌△ACF(SSS)，

∴∠BAF=∠CAF(全等三角形对应角相等)，

∴AF平分∠BAC.

【题型】解答题
【结束】
23

如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.（1）求证：CD=BE；（2）已知CD=2，求AC的长；（3）求证：AB=AC+CD.

Answer

（1）详见解析；（2）2+2；（3）详见解析.

【解析】

试题（1）先根据题意判断出△ABC是等腰直角三角形，故∠B=45°，再由DE⊥AB可知△BDE是等腰直角三角形，故DE=BE，再根据角平分线的性质即可得出结论；

（2）由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE=BE=CD，再根据勾股定理求出BD的长，进而可得出结论；

（3）先根据HL定理得出Rt△ACD≌Rt△AED，故AE=AC，再由CD=BE可得出结论．

试题解析：（1）∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B=45°，

∵DE⊥AB，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴DE=BE．

∵AD是△ABC的角平分线，

∴CD=DE，

∴CD=BE；

（2）∵由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE=BE=CD，

∴DE=BE=CD=2，

∴BD=，

∴AC=BC=CD+BD=2+2；

（3）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，

∴CD=DE．

在Rt△ACD与Rt△AED中，

∵，

∴Rt△ACD≌Rt△AED，

∴AE=AC．

∵由（1）知CD=BE，

∴AB=AE+BE=AC+CD．