Question

已知x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²﹣2（m+2）x+m²＝0的两个实数根．

（1）当m＝0时，求方程的根；

（2）若（x₁﹣2）（x₂﹣2）＝41，求m的值；

（3）已知等腰三角形ABC的一边长为9，若x₁，x₂恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．

Answer

（1）x1＝0，x2＝4（2）9（3）19

【解析】

（1）将m=0代入方程x2-2（m+2）x+m2=0，得到x2-4x=0，利用因式分解法求解即可；

（2）利用（x1-2）（x2-2）=x1x2-2（x1+x2）+4=m2-4（m+2）+4=m2-4m-4=41，求得m的值，再利用根的判别式检验即可；

（3）分9为底边和9为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．

（1）当m＝0时，方程即为x2﹣4x＝0，

解得x1＝0，x2＝4；

（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2＝0的两个实数根，

∴x1+x2＝2（m+2），x1x2＝m2，

∴（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1x2﹣2（x1+x2）+4＝m2﹣4（m+2）+4＝m2﹣4m﹣4＝41，

∴m2﹣4m﹣45＝0，

解得m1＝9，m2＝﹣5．

当m1＝9时，方程为x2﹣22x+81＝0，△＝（﹣22）2﹣4×81＝160＞0，符合题意；

当m1＝﹣5时，方程为x2+6x+25＝0，△＝62﹣4×25＝﹣64＜0，不符合题意；

故m的值为9；

（3）①当9为底边时，此时方程x2﹣2（m+2）x+m2＝0有两个相等的实数根，

∴△＝4（m+2）2﹣4m2＝0，

解得：m＝﹣1，

∴方程变为x2﹣2x+1＝0，

解得：x1＝x2＝1，

∵1+1＜9，

∴不能构成三角形；

②当9为腰时，设x1＝9，

代入方程得：81﹣18（m+2）+m2＝0，

解得：m＝15或3，

当m＝15时方程变为x2﹣34x+225＝0，

解得：x＝9或25，

∵9+9＜25，不能组成三角形；

当m＝3时方程变为x2﹣10x+9＝0，

解得：x＝1或9，

此时三角形的周长为9+9+1＝19．