Question

如图，在等边△ABC中，边长为30，点M为线段AB上一动点，将等边△ABC沿过M的直线折叠，折痕与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且BD：DC＝1：4，设折痕为MN，则AN的值为_____．

Answer

21或65

【解析】

①当点A落在如图1所示的位置时，

∵△ACB是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°，

∵∠MDC=∠B+∠BMD，∠B=∠MDN，

∴∠BMD=∠NDC，

∴△BMD∽△CDN.

∴，

∵DN=AN，

∴，

∵BD:DC=1:4，BC=10，

∴DB=2，CD=8，

设AN=x，则CN=10−x，

∴

∴

∵BM+DM=10，

∴

解得x=7，

∴AN=7；

②当A在CB的延长线上时，如图2，

与①同理可得△BMD∽△CDN.

∴，

∵BD:DC=1:4，BC=10，

∴DB=，CD=，

设AN=x，则CN=x−10，

∴

∴

∵BM+DM=10，

∴，

解得：x=，

∴AN=.

故答案为：7或.