Question

如图，已知抛物线 yx² bxc经过△ ABC 的三个顶点，其中点 A(0，1)，点 B(9，10)，AC∥x 轴，点 P 是直线 AC 下方抛物线上的动点，过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 AB、AC 分别交于点 E、F.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图 1，当四边形 AECP 的面积最大时，求点 P 的坐标和四边形 AECP 的最大面积；

（3）如图 2，当点 P 为抛物线的顶点时，在直线 AC 上是否存在点 Q，使得以 C，P，Q 为顶点的三角形与△ ABC 相似?若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）时，四边形的面积最大值是，此时；（3）点的坐标为或.

【解析】

（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，可得C点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据待定系数法，可得AB的解析式，根据直线上的点满足函数解析式，可得E点坐标，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；

（3）根据等腰直角三角形的性质，可得∠PCF=∠EAF，根据相似三角形的判定，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案．

（1）将A（0，1），B（9，10）代入函数解析式，

得 ，解得，

抛物线的解析式y=x2-2x+1；

（2）∵轴，，

∴，

解得，（舍），

即点坐标为，

∵点，点，

∴直线的解析式为，

设，∴，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴当时，四边形的面积最大值是，此时；

（3）∵，，，，

∴，

∴，

同理可得，

∴，

∴在直线上存在满足条件得点，设且，，，

∵以，，为顶点的三角形与相似，

①当时，，，解得，；

②当时，∴，，解得，.

综上所述：当点为抛物线的顶点时，在直线上存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，点的坐标为或.