Question

如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点O为斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P，则下列结论：

①图中全等三角形有三对；②△ABC的面积等于四边形CDOE面积的倍；③DE²+2CD•CE=2OA²；④AD²+BE²=2OP•OC．正确的有（　　）个．

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Answer

C

【解析】

结论（1）正确．因为图中全等的三角形有3对；

结论（2）错误．由全等三角形的性质可以判断；

结论（3）正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断．

结论（4）正确．利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断．

结论（1）正确，理由如下：

图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．

由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．

∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．

在△AOD与△COE中，

∴△AOD≌△COE（ASA），

同理可证：△COD≌△BOE．

结论（2）错误．理由如下：

∵△AOD≌△COE，

∴S△AOD=S△COE，

∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC

即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．

结论（3）正确，理由如下：

∵△AOD≌△COE，

∴CE=AD，

∴CD+CE=CD+AD=AC=OA，

∴（CD+CE）2=CD2+CE2+2CD•CE=DE2+2CD•CE=2OA2；

结论（4）正确，理由如下：

∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD．

在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，∴AD2+BE2=DE2．

∵△AOD≌△COE，∴OD=OE，

又∵OD⊥OE，∴△DOE为等腰直角三角形，∴DE2=2OE2，∠DEO=45°．

∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE，

∴△OEP∽△OCE，

∴，

即OP•OC=OE2．

∴DE2=2OE2=2OP•OC，

∴AD2+BE2=2OP•OC．

综上所述，正确的结论有3个，

故选C．