Question

如图，在△ABC中，点B，C是x轴上的两个定点，∠ACB=90°，AC=BC，点A（l，3），点P是x轴上的一个动点，点E是AB的中点，在△PEF中，∠PEF=90°，PE=EF

（1）如图1，当点P与坐标原点重合时：①求证△PCE≌△FBE；②求点F的坐标；   

（2）如图2，当点P在线段CB上时，求证S_△CPE=S_△AEF   

（3）如图3，当点P在线段CB的延长线时，若S_△AEF=4S_△PBE则此刻点F的坐标为________   

Answer

（1）①证明见解析②（4，﹣1）（2）证明见解析（3）（4，4）

【解析】

（1）①只要证明∠OEC=∠FEB，OE=EF，EC=EB，即可解决问题．

②由△PCE≌△FBE推出BF=PC=1，只要证明BF⊥PB即可．

（2）如图2中，作PM⊥CE于M，FN⊥EB于N，根据全等三角形的性质可知PM=FN，由S△CPE=CE•PM，S△AEF=•AE•FN，即可证明．

（3）由（2）可知△ECP≌△EBF，推出PC=BF，BF⊥CP，由S△CPE=S△AEF，S△AEF=4S△PBE，推出S△CPE=4S△PBE，推出PC=4PB，推出BC=3PB，PB=1，PC=4，推出BF=PC=4，由此即可解决问题．

（1）证明：如图1中，

①∵A（1，3），B（4，0），

∴AC=BC=3，△ACB是等腰直角三角形，

∵AE=EB，

∴CE=AE=EB，CE⊥AB，∠ECB=∠EBC=45°，

∴∠CEB=∠OEF=90°，∠ECO=135°，

∴∠OEC=∠FEB，∵OE=EF，EC=EB，

∴△EOC≌△EFB，即△PCE≌△FBE．．

②∵△PCE≌△FBE．

∴OC=BF=1，∠EBF=∠OCE=135°，

∴∠OBF=90°，

∴BF⊥OB，

∴F（4，﹣1）

（2）证明：如图2中，作PM⊥CE于M，FN⊥EB于N．

由（1）可知∠OEC=∠FEB，OE=EF，EC=EB，

∴△ECP≌△EBF，

∵PM⊥CE于M，FN⊥EB于N，

∴PM=FN（全等三角形对应边上的高相等），

∵S△CPE=CE•PM，S△AEF=•AE•FN，

∵CE=AE，PM=NF，

∴S△CPE=S△AEF

（3）如图3中，

由（2）可知△ECP≌△EBF，推出PC=BF，BF⊥CP，

∵S△CPE=S△AEF，S△AEF=4S△PBE，

∴S△CPE=4S△PBE，

∴PC=4PB，

∴BC=3PB，PB=1，PC=4，

∴BF=PC=4，

∴点F坐标为（4，4）．

故答案为（4，4）．