Question

如图①，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．

（1）求点A、C的坐标；

（2）将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；

（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）A（2，0）；C（0，4）；（2）；（3）存在，P的坐标为（0，0）或 或.

【解析】

试题（1）已知直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，即可求得A和C的坐标；

（2）根据题意可知△ACD是等腰三角形，算出AD长即可求得D点坐标，最后即可求出CD的解析式；

（3）将点P在不同象限进行分类，根据全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合题意的点P的坐标．

试题解析：（1）A（2，0）；C（0，4）

（2）由折叠知：CD=AD．设AD=x，则CD=x，BD=4-x，

根据题意得：（4-x）2+22=x2解得：x=

此时，AD=，D(2，)

设直线CD为y=kx+4，把D(2，)代入得=2k+4

解得：k=-

∴该直线CD解析式为y=-x+4．

（3）①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0）

②当点P在第一象限时，如图，

由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB，

则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q，

在Rt△ADP中，

AD=，PD=BD=4-=，AP=BC=2

由AD×PQ=DP×AP得：PQ=3

∴PQ=

∴xP=2+=，

把x=代入y=-x+4得y=

此时P(，)

（也可通过Rt△APQ勾股定理求AQ长得到点P的纵坐标）

③当点P在第二象限时，如图

同理可求得：CQ=

∴OQ=4-=

此时P(-，)

综合得，满足条件的点P有三个，

分别为：P1（0，0）；P2(，)；P3(-，)．