Question

【问题探究】

（）如图①，点是正高上的一定点，请在上找一点，使，并说明理由．

（）如图②，点是边长为的正高上的一动点，求的最小值．

【问题解决】

（）如图③，、两地相距， 是笔直第沿东西方向向两边延伸的一条铁路．今计划在铁路线上修一个中转站，再在间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍．那么，为使通过铁路由到再通过公路由到的总运费达到最小值，请确定中转站\的位置，并求出的长．（结果保留根号）

Answer

（）见解析；（）；（）．

【解析】（1）根据等边三角形的性质得出∠BAD=30°，得出EF=AE；
（2）根据题意得出C，M，N在一条直线上时，此时AM+MC最小，进而求出即可；
（3）作BD⊥AC，垂足为点D，在AC异于点B的一侧作∠CAN=30°，作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求，在Rt△ABD中，求出AD的长，在Rt△MBD中，得出MD的长，即可得出答案．

【解析】
（）过点作于，点即为所求．

证明：∵为正， ，

∴．

（）在中， ，

如图，作于，交于，

由（）可知，

∴最小．

（）如图，作于．

在点另一侧作，

作于，交于，点即为所求．

在中， ， ．

∴．

在中， ，

∴，

∴，

．

“点睛”此题主要考查了正三角形的性质以及锐角三角函数关系和勾股定理等知识，利用特殊角的三角函数关系得出是解题关键．