Question

如图⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，延长BC于D，连接AD，使得AD∥OC，AB交OC于E．

（1）求证：AD与⊙O相切；

（2）若AE＝2，CE＝2．求⊙O的半径和AB的长度．

Answer

（1）见解析；（2）AB＝．

【解析】

（1）连接OA，要证明切线，只需证明OA⊥AD，根据AD∥OC，只需得到OA⊥OC，根据圆周角定理即可证明；

（2）设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R-2，AE=2，在Rt△OAE中根据勾股定理可计算出R=4；作OH⊥AB于H，根据垂径定理得AH=BH，再利用面积法计算出OH=，然后根据勾股定理计算出AH=，再利用垂径定理得出AB=2AH═．

（1）连接OA，

∵∠ABC＝45°，

∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，

∴OA⊥OC；

又∵AD∥OC，

∴OA⊥AD，

∴AD是⊙O的切线．

（2）设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，AE＝2，

在Rt△OAE中，∵AO2+OE2＝AE2，

∴R2+（R﹣2）2＝（2）2，解得R＝4，

作OH⊥AB于H，如图，

OE＝OC﹣CE＝4﹣2＝2，

则AH＝BH，

∵OH•AE＝•OE•OA，

∴OH＝＝＝，

在Rt△AOH中，AH＝＝，

∵OH⊥AB，

∴AB＝2AH＝．