Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．

（1）求证：AC²＝AD•AB；

（2）求证：AC²+BC²＝AB²（即证明勾股定理）；

（3）如果AC＝4，BC＝9，求AD：DB的值；

（4）如果AD＝4，DB＝9，求AC：BC的值．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4）.

【解析】

（1）欲证明AC2=AD•AB，只要证明△ACD∽△ABC；

（2）同理可证BC2=BD•AB，由AC2=AD•AB．推出AC2+BC2=AD•AB+BD•AB=AB2；

（3）由BC2=BD•AB，AC2=AD•AB，推出=，即=，由此即可计算；

（4）用类似（3）的方法计算即可．

（1）∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，

∴∠ADC＝∠ACB＝90°，

∵∠A＝∠A，

∴△ACD∽△ABC，

∴，

∴AC2＝AD•AB；

（2）同理可证BC2＝BD•AB，

∵AC2＝AD•AB．

∴AC2+BC2＝AD•AB+BD•AB＝AB2，

∴AC2+BC2＝AB2；

（3）∵BC2＝BD•AB，AC2＝AD•AB，

∴＝，

∴=；

（4）∵BC2＝BD•AB，AC2＝AD•AB，

∴＝，

∴＝＝，

∴＝．