Question

如图1，平面直角坐标系中，直线AB与x轴负半轴交于点A（a，0），与 y轴正半轴交于点B（0，b），且+|b﹣4|=0．

（1）求△AOB的面积；

（2）如图2，若P为直线AB上一动点，连接OP，且2S_△AOP≤S_△BOP≤3S_△AOP，求P点横坐标x_P的取值范围；

（3）如图3，点C在第三象限的直线AB上，连接OC，OE⊥OC于O，连接CE交y 轴于点D，连接AD交OE的延长线于F，则∠OAD、∠ADC、∠CEF、∠AOC之间是否有某种确定的数量关系？试证明你的结论．

Answer

（1）12；（2）﹣4.5≤xP≤﹣4或﹣12≤xP≤﹣9；（3）∠CEF+∠ADC﹣∠OAD﹣∠AOC=90°．

【解析】

（1）利用非负数的性质即可解决问题；

（2）过点P作PH⊥y轴于H，∴PH=|xP|．分三种情形讨论即可①点P在第一象限时，S△BOP＜S△AOP，结论不成立；②点P在第二象限时，PH=|xP|=-xP，S△BOP=-2xP，S△AOP=12+2xP，列出不等式即可解决问题．③P在第三象限时，列出不等式即可；

（3）如图，作AM∥OF交CD于M，DN∥OF交OC于N，利用平行线的性质，等式的性质即可解决问题.

（1）∵+|b﹣4|=0，

又∵≥0，|b﹣4|≥0，

∴a=﹣6，b=4，

∴A（﹣6，0），B（0，4）

∴S△AOB=×6×4=12；

（2）如图，过点P作PH⊥y轴于H，∴PH=|xP|．由图形可知，

①点P在第一象限时，S△BOP＜S△AOP，结论不成立；

②点P在第二象限时，PH=|xP|=﹣xP，S△BOP=﹣2xP，S△AOP=12+2xP

∴2（12+2xP）≤﹣2xP≤3（12+2xP），

解得﹣4.5≤xP≤﹣4；

③P在第三象限时，2（﹣2xP﹣12）≤﹣2xP≤3（﹣2xP﹣12），

解得﹣12≤xP≤﹣9．

综上，P点横坐标xP的取值范围是﹣4.5≤xP≤﹣4或﹣12≤xP≤﹣9．

（3）如图，作AM∥OF交CD于M，DN∥OF交OC于N，

∴AM∥OF∥DN，

∴∠AMD=∠CEF，∠ADN=∠DAM，∠AMD+∠ADC+∠ADN=180°①，

∠FOC+∠AOC+∠OAD+∠DAM=180°，

又∵∠FOC=90°，

∴∠OAD+∠AOC+∠DAM=90°②，

由①得∠ADN=180°﹣∠AMD﹣∠ADC；由②得∠DAM=90°﹣∠OAD﹣∠AOC，

又∠ADN=∠DAM，

∴180°﹣∠AMD﹣∠ADC=90°﹣∠OAD﹣∠AOC，

又∵∠AMD=∠CEF，

∴∠CEF+∠ADC﹣∠OAD﹣∠AOC=90°．

（或∠CEF+∠ADC=90°+∠OAD+∠AOC类似结论均可）