Question

如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．

（1）求证：△ACM≌△BCP；

（2）若PA=1，PB=2，求△PCM的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题（1）根据圆周角定理由∠APC=∠CPB=60°得∠BAC=∠ABC=60°，则△ABC是等边三角形，所以BC=AC，∠ACB=60°，再由CM∥BP得到∠PCM=∠BPC=60°，有可判断△PCM是等边三角形，得到PC=MC，∠M=60°，易得∠PCB=∠ACM，然后利用“AAS“可判断△ACM≌△BCP≌△ACM；

（2）由△ACM≌△BCP≌△ACM得AM=PB=2，则PM=PA+AM=3，由于△PCM是等边三角形，于是可根据等边三角形的性质计算其面积．

试题解析：（1）∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠BAC=∠ABC=60°.∴△ABC是等边三角形.

∴BC=AC，∠ACB=60°.

∵CM∥BP，∴∠PCM=∠BPC=60°.

又∵∠APC=60°，∴△PCM是等边三角形. ∴PC=MC，∠M=60°.

∵∠BCA-∠PCA=∠PCM-∠PCA，∴∠PCB=∠ACM.

在△ACM和△BCP中，，

∴△ACM≌△BCP≌△ACM（AAS）.

（2）∵△ACM≌△BCP，∴AM=PB=2.∴PM=PA+AM=1+2=3.

∵△PCM是等边三角形，∴△PCM的面积=.