Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点F为AC中点，⊙O经过点B，F，且与AC交于点D，与AB交于点E，与BC交于点G，连结BF，DE，弧EFG的长度为（1+）π．

（1）求⊙O的半径；

（2）若DE∥BF，且AE=a，DF=2+﹣a，请判断圆心O和直线BF的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）r=1+；（2）圆心O在直线BF上．理由见解析.

【解析】

（1）设⊙O的半径为r，再根据弧长公式即可得出结论；

（2）先根据DE∥BF得出∠ADE=∠AFB，再根据圆内接四边形的性质得出∠AFB+∠DEB=180°，进而得出AF的长．在Rt△ABC中，根据直角三角形的性质求出BF的长，再由B、F都在⊙O上即可得出结论．

（1）设⊙O的半径为r，

∵∠ABC=90°

∴弧EFG所对的圆心角的度数为180°，

∴=（1+）π，即r=1+；

（2）答：圆心O在直线BF上．

理由如下：

∵DE∥BF，

∴∠ADE=∠AFB．

∵四边形DEBF是⊙O的内接四边形，

∴∠AFB+∠DEB=180°．

∵∠AED+∠DEB=180°，

∴∠AFB=∠AED，

∴∠ADE=∠AED，

∴AD=AE=a．

∵DF=2+﹣a，

∴AF=AD+DF=2+．           

在Rt△ABC中，∠ABC=90°且F为AC中点，

∴BF=AF=2+．    

∵r=1+​，

∴BF=2r．

∵B、F都在⊙O上，

∴BF为⊙O直径，

∴点O在直线BF上．