Question

如图，一次函数y=﹣x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过AB中点D的直线CD交x轴于点C，且经过第一象限的点E（6，4）．

（1）求A，B两点的坐标及直线CD的函数表达式；

（2）连接BE，求△DBE的面积；

（3）连接DO，在坐标平面内找一点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等，请直接写出点F的坐标．

Answer

（1）A（0，4），B（4，0），y=x+1；（2）6；（3）当点F在第一象限时，点F的坐标为（2，2）；当点F在第二象限时，点F的坐标为（﹣4，2）；当点F在第三象限时，点F的坐标为（﹣4，﹣2）；当点F在第四象限时，点F的坐标为（2，﹣2）．

【解析】

（1）依据一次函数y=-x+4，求得A（0，4），B（4，0），依据D是AB的中点，可得D（2，2），运用待定系数法即可得到直线CD的函数表达式；

（2）先求得C（-2，0），BC=2=4=6，再根据△DBE的面积=△BCE的面积-△BCD的面积，进行计算即可；

（3）在四个象限内分别找到点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等．

（1）一次函数y=﹣x+4，令x=0，则y=4；令y=0，则x=4，

∴A（0，4），B（4，0），

∵D是AB的中点，

∴D（2，2），

设直线CD的函数表达式为y=kx+b，则，解得，

∴直线CD的函数表达式为y=x+1；

（3）y=x+1，令y=0，则x=﹣2，

∴C（﹣2，0），

∴BC=2=4=6，

∴△DBE的面积=△BCE的面积﹣△BCD的面积=×6×（4﹣2）=6；

（3）如图所示，

当点F在第一象限时，点F与点D重合，即点F的坐标为（2，2）；

当点F在第二象限时，点F的坐标为（﹣4，2）；

当点F在第三象限时，点F的坐标为（﹣4，﹣2）；

当点F在第四象限时，点F的坐标为（2，﹣2）．