Question

十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

    

图1                                       图2

（探索新知）如图1，（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格；

多面体	顶点数（V）	面数（F）	棱数（E）
四面体	4	4
长方体	8	6	12
正八面体		8	12
正十二面体	20	12	30

你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是　                   　．

（2）根据以上关系式猜想是否存在一个多面体，它有16个面，50条棱，34个顶点？并写出理由。

（实际应用）如图2，足球一般有32块黑白皮子缝合而成，黑色的是正五边形，白色的是正六边形，如

果我们近似把足球看成一个多面体．

（1）设黑色的正五边形有x块，则白色的正六边形有（32﹣x）块，当把足球看成一个多面体时，它的棱数是           　，它的顶点数是             　．

（2）求出黑皮和白皮各有多少块？

Answer

【探索新知】（1）6,6，V+F﹣E=2；(2)不存在；

【实际应用】（1）﹣x+96，；﹣x+64，（2）正五边形有12块，正六边形有20块．

【解析】

探索新知（1）观察图形即可得出结论；观察可得顶点数+面数-棱数=2；
（2）代入（1）中的式子即可验证.

实际应用（1）直接利用欧拉公式求出答案；

（2）根据题意可知：本题中的等量关系是“黑白皮块32块”和因为每块白皮有3条边与黑边连在一起，所以黑皮只有（32-x）块，而黑皮共有边数为5x块，依此借助欧拉公式列方程求解即可．

探索新知（1）观察表格可以看出：顶点数+面数−棱数=2，关系式为：V+F−E=2；

多面体

顶点数(V)

面数(F)

棱数(E)

四面体

4

4

6

长方体

8

6

12

正八面体

6

8

12

正十二面体

20

12

30

（2）由题意知，V=34，F=16，E=50，不符合关系式：V+F−E=2.故没有这样的多边形.

实际应用（1）设正五边形有x块，则正六边形有32−x块，

则F=32,E=5x+=− x+96

V=E÷3×2=−+64

（2）根据欧拉公式得：V+F−E=2，

则−x+64+32−(−x+96)=2，

解得：x=12，32−x=20，

所以，正五边形有12块，正六边形有20块.