Question

（问题情境）

如图，在正方形ABCD中，点E是线段BG上的动点，AE⊥EF，EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．

（探究展示）

（1）如图1，若点E是BC的中点，证明：∠BAE+∠EFC=∠DCF．

（2）如图2，若点E是BC的上的任意一点（B、C除外），∠BAE+∠EFC=∠DCF是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．

（拓展延伸）

（3）如图3，若点E是BC延长线（C除外）上的任意一点，求证：AE=EF．

Answer

（1）证明见解析；（2）成立；证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

(1)取AB的中点M,连结EM,根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可;
(2)在AB上取一点M,使AM=CE,连接ME,根据已知条件利用ASA判定,利用全等三角形的性质证明即可.
(3)在BA的延长线上取一点M,使AM=CE,连接ME,根据已知利用ASA判定,利用全等三角形的性质证明即可.

（1）证明：取AB的中点M，连结EM，如图1：

∵M是AB的中点，E是BC的中点，

∴在正方形ABCD中，AM=EC，

∵CF是∠DCG的平分线，

∴∠BCF=135°，

∴∠AME=∠ECF=135°，

∵∠MAE=∠CEF=45°，

在△AME与△ECF中，

，

∴△AME≌△ECF（SAS），

∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF；

（2）证明：取AB上的任意一点使得AM=EC，连结EM，如图2：

∵AE⊥EF，AB⊥BC，

∴∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠CEF=90°，

∴∠MAE=∠CEF，

∵AM=EC，

∴在正方形ABCD中，BM=BE，

∴∠AME=∠ECF=135°，

在△AME与△ECF中，

，

∴△AME≌△ECF（SAS），

∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF；

（3）证明：取AB延长线上的一点M使得AM=CE，如图3：

∵AM=CE，AB⊥BC，

∴∠AME=45°，

∴∠ECF=AME=45°，

∵AD∥BE，

∴∠DAE=∠BEA，

∵MA⊥AD，AE⊥EF，

∴∠MAE=∠CEF，

在△AME与△ECF中，

，

∴△AME≌△ECF（SAS），

∴AE=EF．