Question

如图，（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N, FN⊥BC.

（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？

（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y。

①求y与x的函数关系式；

②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值.

Answer

（1）AE=EF；（2）①y=-x2+2x（0＜x＜4)，②当x=2,y最大值=2.

【解析】

（1）在AB上取一点G，使AG=EC，连接GE，利用ASA，易证得：△AGE≌△ECF，则可证得：AE=EF；

（2）同（1）可证明AE=EF，利用AAS证明△ABE≌△ENF，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE，再表示出EC，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出△ECF的面积为y，然后整理再根据二次函数求解最值问题．

（1）如图，在AB上取AG=EC，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，

有∵AG=EC ，∴BG=BE ，

又∵∠B=90°，

∴∠AGE=135°，

又∵∠BCD=90°，CP平分∠DCN，

∴∠ECF=135°，

∵∠BAE＋∠AEB=90°，∠AEB＋∠FEC=90°，

∴∠BAE=∠FEC，

在△AGE和△ECF中，

,

∴△AGE≌△ECF，

∴AE=EF；

(2)①∵由（1）证明可知当E不是中点时同理可证AE=EF，

∵∠BAE=∠NEF，∠B=∠ENF=90°，

∴△ABE≌△ENF，

∴FN=BE=x，

∴S△ECF= (BC-BE)·FN，

即y= x(4-x），

∴y=- x2+2x（0＜x＜4)，

②，

当x=2，y最大值=2.