Question

如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，3），

（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+AH的值最小，求出点H的坐标；

（3）在抛物线上存在点P，满足S_△AOP=5，

请求出点P的坐标；

Answer

（1）y=﹣x2﹣x+3；（2）（﹣，）；（3）P点坐标为（，﹣5）或（，﹣5）；

【解析】

（1）设交点式y=a（x-2）（x+3），然后把C点坐标代入求出a即可；

（2）如图1，先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x+3，再确定抛物线的对称轴方程，设直线BC与直线x=-相交于点H，根据抛物线的对称性得HB=HA，根据两点之间线段最短可判定此时HA+HC的值最小，从而得到此时点H的坐标；

（3）如图1，设P（x，-x2-x+3），利用三角形面积公式得∴•2•|-x2-x+3|=5，然后解两个一元二次方程可求出满足条件的P点坐标；

（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+3），

把C（0，3）代入得a•（﹣2）•3=3，解得a=﹣，

∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）（x+3），

即y=﹣x2-x+3；

（2）如图1，设直线BC的解析式为y=kx+b，

把B（﹣3，0），C（0，3）代入得，解得，

∴直线BC的解析式为y=x+3，

抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣，

直线BC与直线x=﹣相交于点H，则HB=HA，

∵HA+HC=HB+HC=BC，

∴此时HA+HC的值最小，点H的坐标为（﹣，）；

（3）如图1，设P（x，﹣x2﹣x+3），

∵S△AOP=5，

∴•2•|﹣x2﹣x+3|=5，

∴﹣x2﹣x+3=5或﹣x2﹣x+3=﹣5，

方程﹣x2﹣x+3=5没有实数解；

解方程﹣x2﹣x+3=﹣5得x1=，x2=，

∴P点坐标为（，﹣5）或（，﹣5）；