Question

在△ABC中，∠B＝45°， AM⊥BC，垂足为M．

（1）如图1，若AB＝4，BC＝7，求AC的长；

（2）如图2， 点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，CE=CA，连接ED并延长交BC于点F，且∠BDF＝∠CEF，

求证①AC＝BD；

②BF＝CF．

Answer

（1）5；（2）见解析.

【解析】

（1）先由AM=BM=ABcos45°=4可得CM=3，再由勾股定理可得AC的长；
（2）①由AM⊥BC，得∠AMC＝∠BMD＝90°，再由三角形全等可证AC＝BD；

②延长EF到点G，作BG∥EC，可得∠G＝∠CEF，证得BG＝CE，再证△BFG≌△CFE可得BF＝CF．

（1）【解析】
∵AM⊥BC，

∴∠AMB＝90°．

∵∠B＝45°，

∴∠BAM＝90°－45°＝45°．

∴BM＝AM．

∵AB＝，

∴BM＝4．

∴CM＝BC－BM＝3．

∵∠AMC＝90°，

∴AC=．

（2）①∵AM⊥BC，

∴∠AMC＝∠BMD＝90°．

∵MC＝MD，AM＝BM，

∴△AMC≌△BMD．

∴AC＝BD．

②延长EF，过B作BG∥EC交EF延长线于点G．

∵BG∥CE，

∴∠G＝∠CEF．

∵∠BDF＝∠CEF，

∴∠G＝∠BDF．

∴BG＝BD．

∵AC＝CE，AC＝BD，

∴BG＝CE．

∵∠BFG＝∠CFE，

∴△BGF≌△CEF．

∴BF＝CF．