Question

如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．

（1）求证：△ABD∽△DCE；

（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

 

Answer

（1）见解析；（2）1

【解析】

(1)首先根据等腰直角三角形的两个底角都是45,得到一对对应角相等;再根据三角形的外角的性质得到∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD,从而证明∠EDC=∠BAD,根据两个角对应相等,得到两个三角形相似;

(2)根据等腰三角形的定义,此题要分AD=AE、AD=DE、AE=DE三种情况进行分析讨论.

（1）证明：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，

∴∠B=∠C=45°．

∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，

∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．

又∵∠ADE=45°，

∴45°+∠EDC=45°+∠BAD．

∴∠EDC=∠BAD．

∴△ABD∽△DCE．

（2）【解析】
讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意．

②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，

于是AB=AC=2，BC=2，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2﹣2）=4﹣2

③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，

如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=1．