Question

点是轴正半轴的一个动点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接．

如图甲，当点在轴的正方向上运动时，的面积大小是否变化？若不变，请求出的面积；若改变，试说明理由；

如图乙，在轴上的点的右侧有一点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接交于点，设的面积是，梯形的面积为，写出与的大小关系（用 “”、“”、“”表示）；

如图丙，的延长线与双曲线的另一个交点为，垂直于轴，垂足为点，连接，，试证明四边形的面积为一个常数．

Answer

（1）的面积不变，； ； 四边形的面积是．

【解析】

(1)本题还可依据比例系数k的几何意义，得出两个三角形的面积都等于，因而当点P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积大小不变；
(2)根据(1)可以得到△BDO的面积，因而S1>S2；

(3)设A的坐标是(a，b)，根据反比例函数是中心对称图形，因而F点的坐标是(－a，－b)，则AP=b，HP=2a，则四边形APFH的面积是2ab，从而得到四边形APFH的面积是2．

（1）的面积不变，；

根据的面积等于，的面积大于，；

设的坐标是，根据反比例函数是中心对称图形，因而点的坐标是，则，，则四边形的面积是，据在双曲线的图象上，因而，则四边形的面积是．