Question

甲乙两人轮流在黑板上写下不超过 的正整数（每次只能写一个数），规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（   ）时有必胜的策略．

A. 10    B. 9    C. 8D. 6

Answer

D

【解析】

解答此题的关键是第一个数字写出后，后面可写的数字是偶数个，并且可以分成不是约数关系的几组．

对于选项A:当甲写10时,乙可以写3、4、6、7、8、9,如果乙写7,则乙必胜,因为无论甲写3,4,6,8,9这五个数中的6(连带3)或8(连带4),乙可以写4或3，剩下2个数字;当甲写3或4时,乙可以写8(连带4)或6(连带3)，剩下偶数个数字甲最后不能写,乙必胜;

对于选项B:当甲写9后,乙可以写2、4、5、6、7、8、10,如果乙写6,则乙必胜,因为剩下4、5、7、8、10这5个数中,无论甲写8(连带4)或10(连带5),乙可以写5或4;当甲写4或5时,乙可以写10(连带5)或8(连带4),甲最后不能写,乙必胜;

对于选项C:当甲写8时,乙可以写3、5、6、7、9、10,当乙写6(或10)时,甲就必须写10(或6),因为乙写6(或10)后,连带3(或5)也不能写了,这样才能保证剩下能写的数有偶数个,甲才可以获胜;

对于选项D: 甲先写6，由于6的约数有1，2，3，6，接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10，把这6个数分成三组：(4,7)、(5,8)、(9,10)，当然也可(4,5)、(8,10)、(7,9)或(4,9)、(5,7)、(8,10)等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，这样，乙写某组数中的某个数时，甲就写同组中的另一数，从而甲一定写最后一个，甲必获胜，

综上可知,只有甲先写6,才能必胜,

故选：D.