Question

A、B、C 为数轴上三点，若点 C 到点 A 的距离是点 C 到点 B 的距离的 2倍，则称点 C 是（A，B）的奇异点，例如图 1 中，点 A 表示的数为﹣1，点B 表示的数为 2，表示 1 的点 C 到点 A 的距离为 2，到点 B 的距离为 1，则点C 是（A，B）的奇异点，但不是（B，A）的奇异点．

(1)在图 1 中，直接说出点 D 是（A，B）还是（B，C）的奇异点；

(2)如图 2，若数轴上 M、N 两点表示的数分别为﹣2 和 4，（M，N）的奇异点 K 在 M、N 两点之间，请求出 K 点表示的数；

(3)如图 3，A、B 在数轴上表示的数分别为﹣20 和 40，现有一点 P 从点 B 出发，向左运动．

①若点 P 到达点 A 停止，则当点 P 表示的数为多少时，P、A、B 中恰有一个点为其余两点的奇异点？

②若点 P 到达点 A 后继续向左运动，是否存在使得 P、A、B 中恰有一个点为其余两点的奇异点的情况？若存在，请直接写出此时 PB 的距离；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）点D是（B，C）的奇异点，不是（A，B）的奇异点；（2）（M，N）的奇异点表示的数是2；（3）①点P表示的数是0或10或20时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇异点；②PB=120或180或90.

【解析】

（1）根据奇异点的定义和数轴上两点间的距离，即可求出点D到点A的距离为1，到点B的距离为2，以及点D到点C的距离为1，就可以对点D做出判断.

（2）设奇异点表示的数为x，根据奇异点的定义可得方程：x﹣（﹣2）=2（4﹣x）．从而求得x值.

(3)①当P在A、B两点之间时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇异点需分类讨论，具体分四种情况讨论：当点P是（A，B）的奇异点时、当点P是（B，A）的奇异点时、当点A是（B，P）的奇异点时、当点B是（A，P）的奇异点时，计算方法同（1）.

②点P到达点A后继续向左运动，是否存在使得P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇异点的情况方法同①分四种情况讨论：当点P为（B，A）的奇异点时，PB=120；

当点A为（P，B）的奇异点时，PB=180；当点A为（B，P）的奇异点时，PB=90；

当点B为（P，A）的奇异点时，PB=120．

（1）在图1中，点D到点A的距离为1，到点B的距离为2，

∴点D是（B，C）的奇异点，不是（A，B）的奇异点；

（2）设奇异点表示的数为x，

则由题意，得x﹣（﹣2）=2（4﹣x）．

解得x=2．

∴（M，N）的奇异点表示的数是2；

（3）①设点P表示的数为y．

当点P是（A，B）的奇异点时，

则有y+20=2（40﹣y），

解得y=20．

当点P是（B，A）的奇异点时，

则有40﹣y=2（y+20），

解得y=0．

当点A是（B，P）的奇异点时，

则有40+20=2（y+20），

解得y=10．

当点B是（A，P）的奇异点时，

则有40+20=2（40﹣y），解得y=10．

∴当点P表示的数是0或10或20时，

P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇异点．

②当点P为（B，A）的奇异点时，PB=120；

当点A为（P，B）的奇异点时，PB=180；

当点A为（B，P）的奇异点时，PB=90；

当点B为（P，A）的奇异点时，PB=120．