Question

如图，△ABC 是等边三角形，D 为 CB 延长线上一点，E 为 BC 延长线上点．

（1）当 BD、BC 和 CE 满足什么条件时，△ADB∽△EAC？

（2）当△ADB∽△EAC 时，求∠DAE 的度数．

Answer

（1）见解析；（2）120°．

【解析】

（1）由等边三角形得 AB＝BC＝CA、∠ABC＝∠ACB＝60°，即∠ABD＝∠ACE＝120°，结合 BC²＝BD•CE 知 AB•AC＝BD•CE，据此可得答案；（2）由△ADB∽△EAC 知∠D＝∠CAE，由∠ABC＝∠D+∠DAB＝60°知∠CAE+∠DAB＝60°，根据∠DAE＝∠CAE+∠DAB+∠BAC 可得答案.

（1）当 BC²＝BD•CE 时，△ADB∽△EAC，

∵△ABC 是等边三角形，

∴AB＝BC＝CA，∠ABC＝∠ACB＝60°，

∴∠ABD＝∠ACE＝120°，

∵BC²＝BD•CE，

∴AB•AC＝BD•CE，

，

∴△ADB∽△EAC；

（2）∵△ADB∽△EAC，

∴∠D＝∠CAE，

∵∠ABC＝∠D+∠DAB＝60°，

∴∠CAE+∠DAB＝60°，

∴∠DAE＝∠CAE+∠DAB+∠BAC＝60°+60°＝120°．