Question

操作：如图，在正方形 ABCD 中，P 是 CD 上一动点（与 C，D 不重合），使三角板的直角顶点与点 P 重合，并且一条直角边始终经过点 B，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点 E．

（1）根据操作结果，画出符合条件的图形；

（2）观察所画图形，写出一个与△BPC 相似的三角形，并说明理由；

（3）当点 P 位于 CD 的中点时，直接写出（2）中两对相似三角形的相似比．

Answer

（1）如图所示见解析；（2）结论：△PBC∽△EPD．理由见解析；（3）相似比＝2：1．

【解析】

（1）根据要求画出图形即可； (2)结论：△PBC∽△EPD．根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明； (3) 根据相似三角形的性质即可解决问题.

（1）如图所示；

（2）结论：△PBC∽△EPD．

理由：∵四边形 ABCD 是正方形，

∴∠D＝∠C＝90°，

∵∠BPE＝90°，

∴∠BPC+∠EPD＝90°，∠EPD+∠PED＝90°，

∴∠BPC＝∠PED，

∴△PBC∽△EPD．

∵△PBC∽△EPD，

∴相似比＝BC：PD，

∵BC＝CD，PD＝PC，

∴相似比＝2：1．