Question

锐角△ABC 中，BC＝6，BC 边上的高 AD＝4，两动点 M，N 分别在边 AB，AC 上滑动（M 不与 A、B 重合），且 MN∥BC，以 MN 为边向下作正方形 MPQN，设其边长为 x，正方形 MPQN 与△ABC 公共部分的面积为 y（y＞0）．

（1）MN,BC具备什么条件，△AMN∽△ABC；

（2）当 x为何值时，PQ 恰好落在边 BC 上（如图 1）；

（3）当 PQ 在△ABC 外部时（如图 2），求 y 关于 x 的函数关系式（注明 x 的取值范围）并求出 x 为何值时 y 最大，最大值是多少？

Answer

（1）MN∥BC；（2）x＝；（3）当 x＝3 时，y 有最大值，最大值是 6．

【解析】

（1）根据 MN∥BC，得△AMN∽△ABC；(2)因为正方形的位置在变化，但是△AMN∽△ABC 没有改变，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，得出等量关系，代入解析式;(3)用含 x 的式子表示矩形 MEFN 边长，从而求出面积的表达式．

（1）∵MN∥BC，

∴△AMN∽△ABC；

（2）当 PQ 恰好落在边 BC上时，

∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．

∴，

即 ，x＝ ；

（3）设 BC 分别交 MP，NQ 于 E，F，则四边形 MEFN 为矩形．

设 ME＝NF＝h，AD 交 MN 于 G（如图 2）GD＝NF＝h，AG＝4﹣h．

∵MN∥BC，

∴△AMN∽△ABC．

∴，即 ，

∴h＝﹣x+4．

∴y＝MN•NF＝x（﹣x+4）＝-x²+4x（2.4＜x＜6），

配方得：y＝﹣(x﹣3)²+6．

∴当 x＝3 时，y 有最大值，最大值是 6．