Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝﹣x+6．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M为线段BC上方抛物线上的任意一点，连接MB，MC，点N为抛物线对称轴上任意一点，当M到直线BC的距离最大时，求点M的坐标及MN+NB的最小值；

(3)在(2)中，点M到直线BC的距离最大时，连接OM交BC于点E，将原抛物线沿射线OM平移，平移后的抛物线记为y′，当y′经过点M时，它的对称轴与x轴的交点记为H．将△BOE绕点B逆时针旋转60°至△BO₁E₁，再将△BO₁E₁沿着直线O₁H平移，得到△B₁O₂E₂，在平面内是否存在点F，使以点C，H，B₁，F为顶点的四边形是以B₁H为边的菱形．若存在，直接写出点B₁的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)y＝﹣x2+2x+6；(2)点M的坐标及MN+NB的最小值分别为：（3，），；(3)存在，此时，点B1的横坐标为18．

【解析】

（1）直线BC的解析式为y=-x+6，则B（6，0）、C（0，6），把B、C坐标代入二次函数表达式，解得：y=-x2+2x+6；

（2）设M横坐标为t，则M到直线BC的距离为d==；点B关于对称轴的对称点为A，则AM为MN+NB的最小值，即可求解；

（3）OM所在直线方程为：y=x，当抛物线沿OM直线平移时，设顶点向右平移2m，则向上平移了5m，新顶点坐标为（2+2m，8+5m），则y′=-（x-2-2m）2+（8+5m），把点M（3，）代入上式，解得：m=，则H（9，0）．①假设：平行四边形处于CF′HB′1位置时，该四边形为菱形，则B′1的y坐标为6，则其x坐标为9+2，而B′1C=9+2，B′1H=4，即：B′1C≠B′1H，CF′HB′1不是菱形；②假设：平行四边形处于CHB1F位置时，该四边形为菱形，则B1的横坐标为2OH=18．

(1)直线BC的解析式为y＝﹣x+6，则B（6，0）、C（0，6），

把点B、C坐标代入二次函数表达式，

解得：y＝﹣x2+2x+6，

此时，顶点坐标为（2，8），A（﹣2，0）；

(2)设M横坐标为t，则M到直线BC的距离为d＝＝，

∴当t＝3时，d最大，则M（3，），

点B关于对称轴的对称点为A，则AM为MN+NB的最小值，AM＝＝；

∴点M的坐标及MN+NB的最小值分别为：（3，），；

(3)OM所在直线方程为：y＝x，

当抛物线沿OM直线平移时，设顶点向右平移2m，则向上平移了5m，新顶点坐标为（2+2m，8+5m），

则y′＝﹣（x﹣2﹣2m）2+（8+5m），

把点M（3，）代入上式，解得：m＝，（m＝0舍去），则H（9，0），

△BOE绕点B逆时针旋转60°至△BO1E1，此时，直线BO1的k值为，

再将△BO1E1沿着直线O1H平移，得到△B1O2E2，直线B1H的k也为，

则B1H所在的直线方程为：y＝x﹣9，

①假设：平行四边形处于CF′HB′1位置时，该四边形为菱形，则B′1的y坐标为6，则其x坐标为9+2，

而B′1C＝9+2，B′1H＝4，即：B′1C≠B′1H，CF′HB′1不是菱形；

②假设：平行四边形处于CHB1F位置时，该四边形为菱形，则B1的横坐标为2OH＝18．

故：存在，此时，点B1的横坐标为18．