Question

如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线y＝x²+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．

(1)求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象（要求过点A、B、C，开口方向、顶点和对称轴相对准确）

(2)点Q（8，m）在抛物线y＝x²+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB的最小值；

(3)CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．

Answer

（1）C（0，2），图象见解析；（2）PQ+PB的最小值 ；（3）OE的解析式为y=．

【解析】

试题（1）根据题意可知点A，B的坐标分别为（2，0），（6，0），代入函数解析式即可求得抛物线的解析式，即可得点C的坐标；

（2）根据图象可得PQ+PB的最小值即是AQ的长，所以抛物线对称轴l是x=4．所以Q（8，m）抛物线上，∴m=2．过点Q作QK⊥x轴于点K，则K（8，0），QK=2，AK=6，求的AQ的值即可；

（3）此题首先要证得OE∥CM，利用待定系数法求得CM的解析式，即可求得OE的解析式．

试题解析：（1）由已知，得A（2，0），B（6，0），

∵抛物线y=x2+bx+c过点A和B，

则

解得

则抛物线的解析式为y=x2-x+2．

故C（0，2）．

（说明：抛物线的大致图象要过点A、B、C，其开口方向、顶点和对称轴相对准确）

（2）如图①，

抛物线对称轴l是x=4．

∵Q（8，m）在抛物线上，

∴m=2．过点Q作QK⊥x轴于点K，则K（8，0），QK=2，AK=6，

∴AQ=．

又∵B（6，0）与A（2，0）关于对称轴l对称，

∴PQ+PB的最小值=AQ=2．

（3）如图②，连接EM和CM．

由已知，得EM=OC=2．

∵CE是⊙M的切线，

∴∠DEM=90°，

则∠DEM=∠DOC．

又∵∠ODC=∠EDM．

故△DEM≌△DOC．

∴OD=DE，CD=MD．

又在△ODE和△MDC中，∠ODE=∠MDC，∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC．

则OE∥CM．

设CM所在直线的解析式为y=kx+b，CM过点C（0，2），M（4，0），

∴

解得

直线CM的解析式为y＝−x+2．

又∵直线OE过原点O，且OE∥CM，

∴OE的解析式为y=−x或y=0.5x．