Question

如图，抛物线y＝ax²+3x+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在第一象限的抛物线上，且点P的横坐标为t，过点P向x轴作垂线交直线BC于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式，并求出m的最大值；

（3）在x轴上是否存在点E，使以点B，C，E为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，直接写出E点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

(1)y＝﹣x2+3x+4；(2)m＝﹣t2+4t（0＜t＜4），m的最大值为4；(3)存在，E（﹣4，0）或（0，0）或（4﹣4，0）．

【解析】

（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）将x=0代入抛物线解析式中可求出点C的坐标，根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，由点P的横坐标为t，即可找出点P、Q的坐标，由此即可用含t的代数式表示出PQ的长度，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；

（3）①由CO⊥x轴、QD⊥x轴、∠QBD=∠CBO，即可得出△BQD∽△BCO，即存在点E（0，0）使得△BQD∽△BCE；②过点C作EC⊥BC交x轴于点E，由EC⊥BC、QD⊥x轴、∠QBD=∠CBO，即可得出△BQD∽△BEC，再根据点B、C的坐标即可得出∠CBO=45°，利用等腰直角三角形的性质即可得出此时点E的坐标．综上即可得出结论．

(1)∵抛物线y＝ax2+3x+c经过A（﹣1，0），B（4，0），

把A、B两点坐标代入上式，解得：a＝﹣1，c＝4，

故：抛物线y＝﹣x2+3x+4；

(2)∵将x＝0代入抛物线的解析式得：y＝4，∴C（0，4），

把将B（4，0），C（0，4）代入抛物线方程，

解得：直线BC的解析式为：y＝﹣x+4．

过点P作x的垂线PQ，如图所示：

∵点P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2+3t+4），Q（t，﹣t+4）．

∴PQ＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t．

∴m＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4（0＜t＜4）．

∴当t＝2时，m的最大值为4；

(3)存在．如图所示：

当EC＝BE时，E在原点O，此时点E（0，0），

当BC＝CE时，E在点B关于y轴对称点，此时点E（﹣4，0），

当BC＝BE时，BE＝4，此时E（4﹣4，0）

即：E（﹣4.0）或（0，0）或（4﹣4，0）．