Question

如图，顶点为D的抛物线y＝﹣x²+x+4与y轴交于点A，与x轴交于两点B、C（点B在点C的左边），点A与点E关于抛物线的对称轴对称，点B、E在直线y＝kx+b（k，b为常数）上．

(1)求k，b的值；

(2)点P为直线AE上方抛物线上的任意一点，过点P作AE的垂线交AE于点F，点G为y轴上任意一点，当△PBE的面积最大时，求PF+FG+OG的最小值；

(3)在(2)中，当PF+FG+OG取得最小值时，将△AFG绕点A按顺时方向旋转30°后得到△AF₁G₁，过点G₁作AE的垂线与AE交于点M．点D向上平移个单位长度后能与点N重合，点Q为直线DN上任意一点，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使以S、Q、M、N为顶点且MN为边的四边形为菱形？若存在，直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)k=，b=1；(2)PF+FG+OG的最小值2+3；(3)存在，点S的坐标为：（﹣1，﹣1），（﹣1，9），（7，4）．

【解析】

（1）由题意得：A（0，4）、B（-2，0）、D（3，）、C（8，0）、E（6，4），则：过BE的直线为：y=x+1；

（2）设：P横坐标为m，则P（m，-m2++4），H（m，m+1），则：PH=-m2++4-（m+1）=-（x-2）2+4，当x=2时，PH取得最大值，此时△PEB的面积也取得最大值；构造与y轴夹角为45度的直线OR，如图所示，过点G作OR的垂线交OR于点R，则：RG=，则：PF+FG+OG=PF+FG+GR，当F、G、R三点共线时，FG+GR有最小值，即可求解；

（3）存在．当四边形为菱形，分在MNQ1S1的位置时、在MNQ2S2的位置时、在MNQ3S3的位置时三种情况分别求解．

(1)由题意得：A（0，4）、B（﹣2，0）、D（3，）、C（8，0）、E（6，4），

则：过BE的直线为：y＝x+1；

(2)延长PF交BE于点H，

设：P横坐标为m，则P（m，﹣m2++4），H（m， m+1），

则：PH＝﹣m2++4﹣（m+1）＝﹣（x﹣2）2+4，

当x＝2时，PH取得最大值，此时△PEB的面积也取得最大值，

此时，P（2，6）、F（2，4），PF＝2，

构造与y轴夹角为45度的直线OR，如图所示，过点G作OR的垂线交OR于点R，

则：RG＝，∴PF+FG+OG＝PF+FG+GR，

当F、G、R三点共线时，FG+GR有最小值，

在Rt△AGF中，AF＝AG＝2，则：GF＝2，

在Rt△ROG中，RO＝RG，OG＝2，则：RG＝，

FG+GR＝2+＝3，

故：PF+FG+OG的最小值2+3；

(3)存在．如图所示：

△AFG绕点A按顺时方向旋转30°后得到△AF1G1，

在Rt△G1AM中，AG1＝2，∠AG1M＝30°，

则：AM＝1，∴M（﹣1，4），

点D向上平移个单位长度后能与点N重合，则：N（3，7），

则：MN＝＝5，

当四边形为菱形，在MNQ1S1的位置时，MS1＝MN＝5，则点S1（﹣1，﹣1），

当四边形为菱形，在MNQ2S2的位置时，MS2＝MN＝5，则点S2（﹣1，9），

当四边形为菱形，在MNQ3S3的位置时，点S3与点M关于对称轴对称，则点S3（7，4），

故：所求点S的坐标为：（﹣1，﹣1），（﹣1，9），（7，4）．