Question

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y＝x²+bx+c经过B点，且顶点在直线y＝上．

(1)求抛物线对应的函数关系式；

(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由．

(3)在(2)的条件下，若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为s，求s与t之间的函数关系式，写出自变量t的取值范围，并求s取大值时，点M的坐标．

Answer

(1)y＝x2﹣x+4；(2)点C和点D在所求抛物线上；(3)s＝﹣（t﹣）2+，当s最大时，此时点M的坐标为（，）．

【解析】

（1）已知了抛物线上A、B点的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法求出抛物线的解析式．

（2）首先求出AB的长，将A、B的坐标向右平移AB个单位，即可得出C、D的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可．

（3）根据C、D的坐标，易求得直线CD的解析式；那么线段MN的长实际是直线BC与抛物线的函数值的差，可将x=t代入两个函数的解析式中，得出的两函数值的差即为l的表达式，由此可求出l、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出l取最大值时，点M的坐标．

(1)∵y＝x2+bx+c的顶点在直线x＝上，

∴可设所求抛物线对应的函数关系式为y＝（x﹣）2+m，

∵点B（0，4）在此抛物线上，

∴4＝（0﹣）2+m，

∴m＝﹣，

∴所求函数关系式为：y＝（x﹣）2﹣＝x2﹣x+4；

(2)在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，

∴AB＝＝5．

∵四边形ABCD是菱形，

∴BC＝CD＝DA＝AB＝5，

∵A、B两点的坐标分别为（﹣3，0））、（0，4），

∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）；

当x＝5时，y＝×52﹣×5+4＝4，

当x＝2时，y＝×22﹣×2+4＝0，

∴点C和点D在所求抛物线上；

(3)设直线CD对应的函数关系式为y＝kx+n，

则，

解得：；

∴y＝x﹣．

∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，

∴N点的横坐标也为t；

则yM＝t2﹣t+4，yN＝t﹣，

∴s＝yN﹣yM＝（t﹣）﹣（t2﹣t+4）

＝﹣（t﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴当t＝时，s最大＝，此时yM＝×（）2﹣×+4＝．

此时点M的坐标为（，）．