Question

在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A（﹣1，0），B（4，0），C

（0，﹣4）三点，点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点．

（1）    求这个二次函数的解析式；

（2）    是否存在点 P，使△POC 是以 OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）    在抛物线上是否存在点 D（与点 A 不重合）使得 S△DBC＝S△ABC，若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；(2)存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；(3)存在满足条件的D点，其坐标为（5，6）．

【解析】

（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；

（3）存在．分两种情况讨论，再利用待定系数法以及解方程组即可解决问题．

(1)设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，

把A、B、C三点坐标代入可得，解得，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；

(2)如图1，作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，

∴PO＝PC，此时P点即为满足条件的点，

∵C（0，﹣4），

∴D（0，﹣2），

∴P点纵坐标为﹣2，

代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝（小于0，舍去）或x＝，

∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；

(3)如图2，

①当D点在直线BC的上方时，过A点作AD1∥BC，交抛物线于D1，此时，使得S△DBC＝S△ABC，

∵B（4，0），C（0，﹣4），

∴直线BC的解析式为y＝x﹣4，

∵AD1∥BC，

∴设直线AD11的解析式为y＝x+n，

把A（﹣1，0）代入得，0＝﹣1+n，则n＝1，

∴直线AD1的解析式为y＝x+1，

解得或，

∴D1的坐标为（5，6），

②当D点在直线BC的下方时，

由直线AD1的解析式为y＝x+1可知直线AD1和y轴的交点E的坐标为（0， 1），

∴CE＝5，

∴直线AD的解析式为y＝x﹣10，

∵方程x2﹣3x﹣4＝x﹣10无实数根，

故存在满足条件的D点，其坐标为（5，6）．