Question

如图，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y＝﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是直线CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求PE的长最大时m的值．

(3)Q是平面直角坐标系内一点，在(2)的情况下，以PQCD为顶点的四边形是平行四边形是否存在？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=﹣x2+4x+5；（2）当m=时，PE最长；（3）点Q的坐标为（，）、（﹣，）或（，﹣）．

【解析】

（1）由点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；

（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点C，D的坐标，进而可得出0＜m＜4，由点P的横坐标为m可得出点P，E的坐标，进而可得出PE=﹣m2m+2，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；

（3）分PE为对角线、PC为对角线、CD为对角线三种情况考虑，由平行四边形的性质（对角线互相平分）结合点P，C，D的坐标可求出点Q的坐标，此题得解．

（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y=﹣x2+bx+c，得：

，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5．

（2）∵直线yx+3与y轴交于点C，与x轴交于点D，∴点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（4，0），∴0＜m＜4．

∵点P的横坐标为m，∴点P的坐标为（m，﹣m2+4m+5），点E的坐标为（m，m+3），∴PE=﹣m2+4m+5﹣（m+3）=﹣m2m+2=﹣（m）2．

∵﹣1＜0，04，∴当m时，PE最长．

（3）由（2）可知，点P的坐标为（）．

以PQCD为顶点的四边形是平行四边形分三种情况（如图所示）：

①以PD为对角线．

∵点P的坐标为（），点D的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），∴点Q的坐标为（4﹣0，0﹣3），即（）；

②以PC为对角线．

∵点P的坐标为（），点D的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），∴点Q的坐标为（0﹣4，3﹣0），即（）；

③以CD为对角线．

∵点P的坐标为（），点D的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），∴点Q的坐标为（0+4，3+0），即（）．

综上所述：在（2）的情况下，存在以PQCD为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（）、（）或（）．