Question

在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，3），抛物线顶点为D点．

(1)求此抛物线解析式；

(2)如图1，点P为抛物线上的一个动点，且在对称轴右侧，若△ADP面积为3，求点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，PA交对称轴于点E，如图2，过E点的任一条直线与抛物线交于M，N两点，直线MD交直线y＝﹣3于点F，连结NF，求证：NF∥y轴．

Answer

(1)抛物线解析式为：y＝x2﹣4x+3；(2)P（4，3）；(3)证明见解析.

【解析】

（1）利用待定系数法确定函数关系式；

（2）利用待定系数法求得直线AD的解析式，根据函数图象上点的坐标特征可以设P（t，t2-4t+3），R（t，-t+1）．如图1，过点P作PR∥y交AD的延长线于R，由此得到S△ADP=S△APR-S△PDR=PR•（t-1）-PR•（t-2）=3，PR=6，所以利用关于t的方程求得点P的坐标；

（3）欲证明NF∥y轴，只需求得点N、F的横坐标相等即可．

(1)把A（1，0），B（3，0），C（0，3）分别代入y＝ax2+bx+c，得

，

解得，

所以，该抛物线解析式为：y＝x2﹣4x+3；

(2)由(1)知，该抛物线解析式为：y＝x2﹣4x+3，

∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴顶点D的坐标是（2，﹣1）．

如图1，过点P作PR∥y交AD的延长线于R，

由A（1，0），D（2，﹣1）易得直线AD的解析式为：y＝﹣x+1．

设P（t，t2﹣4t+3），R（t，﹣t+1）．

∴PR＝t2﹣3t+2．

∵△ADP面积为3，

∴S△ADP＝S△APR﹣S△PDR＝PR•（t﹣1）﹣PR•（t﹣2）＝3，

∴PR＝6，即t2﹣3t+2＝6，

解得t1＝4，t2＝0（舍去）．

此时t2﹣4t+3＝42﹣4×4+3＝3，

∴P（4，3）；

(3)证明：∵P（4，3），A（1，0），

∴直线AP为y＝x﹣1，

把x＝2代入，y＝1，

故E（2，1）．

设直线MN的解析式为：y＝kx﹣2k+1．

联立方程组，得，

消去y，得x2﹣（4+k）x+2+2k＝0，

解得x1＝，x2＝，

∴M（，），xN＝．

∴直线MN的解析式为y＝（x﹣2）﹣1．

令y＝﹣3，得xF＝，

即：xN＝xF，

∴NF∥y轴．