Question

已知抛物线L：y＝x²+bx﹣2与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．且点A的坐标是（﹣1，0）．

（1）求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；

（2）判断△ABC的形状，并求出△ABC的面积；

（3）将抛物线向左或向右平移，得到抛物线L′，L′与x轴相交于A'、B′两点（点A′在点B′的左侧），并与y轴相交于点C′，要使△A'B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．

Answer

(1)y＝x2﹣x﹣2，顶点D的坐标为（，﹣）；(2)△ABC是直角三角形，△ABC的面积是5；(3)所有满足条件的抛物线的函数表达式是y＝，y＝，y＝．

【解析】

（1）根据抛物线过点A可以求得抛物线的解析式，然后将抛物线化为顶点式即可得到顶点D的坐标；

（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点A、B、C的坐标，从而可以判断△ABC的形状并求出它的面积；

（3）根据平移的特点和分类讨论的方法可以求得相应的函数解析式．

(1)∵抛物线L：y＝x2+bx﹣2过点A（﹣1，0），

∴0＝×（﹣1）2+b×（﹣1）﹣2，

解得，b＝﹣，

∴y＝x2﹣x﹣2＝，

∴点D的坐标为（，﹣），

即该抛物线的函数表达式是y＝x2﹣x﹣2，顶点D的坐标为（，﹣）；

(2)当y＝0时，0＝x2﹣x﹣2，解得，x1＝﹣1，x2＝4，当x＝0时，y＝﹣2，

则点A（﹣1，0），点B（4，0），点C（0，﹣2），

∴AB＝5，AC＝，BC＝2，

∵AB2＝AC2+BC2，

∴△ABC是直角三角形，

∴△ABC的面积是：＝5；

(3)∵抛物线向左或向右平移，

∴平移后A′B′与平移前的AB的长度相等，

∴只要平移后过（0，﹣2）或过（0，2）即满足条件，

当向右平移时，

令y＝，当x＝0时，y＝＝2，得a＝，

此时y＝＝，

当向左平移时，

令y＝，当x＝0时，y＝＝±2，得m＝或m＝3，

当m＝时，y＝，当m＝3时，y＝﹣2，

由上可得，所有满足条件的抛物线的函数表达式是y＝，y＝，y＝﹣2．