Question

如图，在直角坐标系中，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点）．

（1）在第一象限内找一点P，以格点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似但不全等，请写出符合条件格点P的坐标；

（2）请用直尺与圆规在第一象限内找到两个点M、N，使∠AMB=∠ANB=∠ACB．请保留作图痕迹，不要求写画法．

Answer

（1）P（1，4）或P′（3，4）；（2）见解析．

【解析】试题

（1）分△APB∽△ABC，△BPA∽△ABC，△BAP∽△ABC三种情况分析讨论，并把全等的情况去掉即可；

（2）根据同弧所对的圆周角相等，以BC为直径作Rt△ABC的外接圆即可找到符合条件的点M、N.

试题解析：

（1）如图1所示：

当△AP1B∽△ABC时，P1A:AB=AC:AB=1：2，解得P1A=4，此时点P的坐标为（1，4）；

当△BP2A∽△ABC时，P2B:AB=AB:AC=2：1，解得P2B=4，此时点P的坐标为（3，4）；

当△BAP3∽△ABC时，P3B:AB=AC:AB=1：2，解得P3B=1，此时两三角形全等，不符合题意，舍去；

综上所述，点P的坐标为（1，4）或（3，4）；

（2）如图，作△ABC的外接圆，在 上取两点M，N即可．