Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax²+bx（a>0），经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）连接OM，求∠AOM的大小；

（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

Answer

(1) y=x2﹣x；(2) ∠AOM=150°；(3)点C的坐标为：（4，0）或（8，0）．

【解析】

试题（1）根据AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A点坐标，以及B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；（2）根据（1）中解析式求出M点坐标，再利用锐角三角函数关系求出∠FOM=30°，进而得出答案；（3）分别根据当△ABC1∽△AOM以及当△C2BA∽△AOM时，利用相似三角形的性质求出C点坐标即可．

试题解析：（1）过点A作AE⊥y轴于点E，

∵AO=OB=2，∠AOB=120°，

∴∠AOE=30°，

∴OE=，AE=1，

∴A点坐标为：（﹣1，），B点坐标为：（2，0），

将两点代入y=ax2+bx得：

，

解得：，

∴抛物线的表达式为：y=x2﹣x；

（2）过点M作MF⊥OB于点F，

∵y=x2﹣x=（x2﹣2x）=（x2﹣2x+1﹣1）=（x﹣1）2﹣，

∴M点坐标为：（1，﹣），

∴tan∠FOM==，

∴∠FOM=30°，

∴∠AOM=30°+120°=150°；

（3）当点C在x轴负半轴上时，则∠BAC=150°，而∠ABC=30°，此时∠C=0°，故此种情况不存在；

当点C在x轴正半轴上时，

∵AO=OB=2，∠AOB=120°，

∴∠ABO=∠OAB=30°，

∴AB=2EO=2，

当△ABC1∽△AOM，

∴，

∵MO==，

∴，

解得：BC1=2，∴OC1=4，

∴C1的坐标为：（4，0）；

当△C2BA∽△AOM，

∴，

∴，

解得：BC2=6，∴OC2=8，

∴C2的坐标为：（8，0）．

综上所述，△ABC与△AOM相似时，点C的坐标为：（4，0）或（8，0）．