Question

如图在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，长方形 OACB 的顶点 A，B 分别在 x，y 轴上，已知 OA=3， 点 D 为 y 轴上一点，其坐标为（0，1），CD=5，点 P 从点 A 出发以每秒 1 个单位的速度沿线段 A﹣C﹣B 的方向运动，当点 P 与点 B 重合时停止运动，运动时间为 t 秒

(1)求 B，C 两点坐标；

(2)①求△OPD 的面积 S 关于 t 的函数关系式；

②当点 D 关于 OP 的对称点 E 落在 x 轴上时，求点 E 的坐标；

(3)在（2）②情况下，直线 OP 上求一点 F，使 FE+FA 最小．

Answer

(1) B（0，5），C（3，5）;(2)①S=-t+4（t≥0）；②(1,10);(3)见解析.

【解析】

（1）由四边形OACB是矩形，得到BC=OA=3，在Rt△BCD中，由勾股定理得到BD==4，OB=5，从而求得点的坐标；

（2）①当点P在AC上时，OD=1，BC=3，S=，当点在BC上时，OD=1，BP=5+3-t=8-t，得到S=×1×（8-t）=-t+4；

②当点D关于OP的对称点落在x轴上时，得到点D的对称点是（1，0），求得E（1，0）；

（3）由点D、E关于OP对称，连接AD交OP于F，找到点F，从而确定AD的长度就是AF+EF的最小值，在Rt△AOD中，由勾股定理求得AD=，即AF+EF的最小值=．

（1）如图1，

∵四边形OACB是矩形，

∴BC=OA=3，

在Rt△BCD中，∵CD=5，BC=3，

∴BD==4，

∴OB=5，

∴B（0，5），C（3，5）；

（2）①当点P在AC上时，OD=1，BC=3，

∴S=，

当点在BC上时，OD=1，BP=5+3-t=8-t，

∴S=×1×（8-t）=-t+4；（t≥0）

②当点D关于OP的对称点落在x轴上时，点D的对称点是（1，0），

∴E（1，0）；

（3）如图2

∵点D、E关于OP对称，连接AD交OP于F，

则AD的长度就是AF+EF的最小值，则点F即为所求．